ધારો કે $\vec a = \hat i - \hat j,$ $\vec b = \hat i + \hat j + \hat k$ અને $\vec c$ એવો સદિશ છે કે જેથી $\vec a \times \vec c + \vec b = 0$ અને $\vec a \cdot \vec c = 4$ થાય,તો ${\left| {\vec c} \right|^2}$ ની કિંમત શોધો.

$(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+7 \vec{b})$ નો ગુણાકાર શોધો.

સદિશો $3 \vec{a}-5 \vec{b}$ અને $2 \vec{a}+\vec{b}$ પરસ્પર લંબ છે અને સદિશો $\vec{a}+4 \vec{b}$ અને $-\vec{a}+\vec{b}$ પણ પરસ્પર લંબ છે. તો સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

યામ સમતલો અને સમતલો $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ જે અનુક્રમે $YZ, ZX, XY$ સમતલોને સમાંતર $a, b, c$ અંતરે આવેલા છે,તે એક લંબઘન બનાવે છે. $d_1$ એ $XY$-સમતલ પરના ફલકનો વિકર્ણ છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી અને $d_2$ એ સમતલ $\pi_2$ નો વિકર્ણ છે જે $d_1$ સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે. જો લંબઘનના શિરોબિંદુઓના કોઈ પણ યામ ઋણ ન હોય અને $d_1$ તથા $d_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\cos \theta=$

ધારો કે $\vec{r}$ એ $\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ છે,જેથી $\vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j}) + 2 = 0$ અને $\hat{i} - \hat{j}$ પર $\vec{r}$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $4\sqrt{2}$ છે,તો સદિશ $\vec{r}$ નું માન શોધો.

ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમાન માન ધરાવતા સદિશો છે જેથી $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|-|\vec{a}-\vec{b}|}=\sqrt{2}+1$ થાય. તો $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|^2}{|\vec{a}|^2}$ ની કિંમત શોધો.